问题
解答题
已知椭圆G:
(Ⅰ)求椭圆G的方程; (Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由. |
答案
(Ⅰ)∵椭圆G:
+x2 a2
=1(a>b>0)的离心率为y2 b2
,1 2
过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限),
∴c=1,(1分)
=c a
,解得a=2,(2分)1 2
∴b2=a2-c2=3,(3分)
∴椭圆的方程为
+x2 4
=1.(4分)y2 3
(Ⅱ)∵A为椭圆G的左顶点,∴A(-2,0),M(1,
),(6分)3 2
∴由题意可设直线l:y=
x+n,n≠1.(7分)1 2
设B(x1,y1),C(x2,y2),
由
,得x2+nx+n2-3=0.
+x2 4
=1y2 3 y=
x+n1 2
由题意得△=n2-4(n2-3)=12-3n2>0,
即n∈(-2,2)且n≠1.(8分)
x1+x2=-n,x1x2=n2-3.(9分)
∵kMB+kMC=
+y1- 3 2 x1-1
,(10分)y2- 3 2 x2-1
=
+
x1+n-1 2 3 2 x1-1
=1+
x2+n-1 2 3 2 x2-1
+n-1 x1-1 n-1 x2-1 =1+ (n-1)(x1+x2-2) x1x2-(x1+x2)+1
=1-
=0,(13分)(n-1)(n+2) n2+n-2
所以直线MB,MC关于直线m对称.(14分)