问题 解答题
已知函数f(x)=2x+1,g(x)=x,x∈R,数列{an},{bn}满足条件:a1=1,an=f(bn)=g(bn+1),n∈N*
(1)求证:数列{bn+1}为等比数列;
(2)令cn=
2n
an•an+1
,Tn是数列{cn}的前n项和,求使Tn
2011
2012
成立的最小的n值.
答案

(1)证明:由题意,2bn+1=bn+1

∴2(bn+1)=bn+1+1

∵a1=2b1+1=1,∴b1=0,∴b1+1=1≠0

∴数列{bn+1}为首项是1,公比为2的等比数列;

(2)由(1)知,bn+1=2n-1,∴an=2bn+1=2n-1

∴cn=

2n
an•an+1
=
1
2n-1
-
1
2n+1-1

∴Tn=(1-

1
3
)+(
1
3
-
1
7
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1-1
)=1-
1
2n+1-1

∵Tn

2011
2012
,∴2n+1>2013,∴n≥10

∴使Tn

2011
2012
成立的最小的n值为10.

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