（1）∵直线l：y=x+m（m＞0）与圆C₁相切，

∴

|m|

2

=

4 5

，∴m=

2 10

5

；

（2）直线l：y=x+

2 10

5

代入椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得：

（b²+a²）x²+

4 10

5

a2x+

8

5

a2-a²b²=0

设A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），则：

x₁+x₂=-

4 10 a2

5(b2+a2)

，x₁x₂=

8a2-5a2b2

5(b2+a2)

，y₁y₂=

40b2+25a2b2

25(a2+b2)

，

∵

OA1

⊥

OB1

，

∴x₁x₂+y₁y₂=

8a2-5a2b2

5(b2+a2)

+

40b2+25a2b2

25(a2+b2)

=0，

∴4（b²+a²）-5a²b²=0，

∵c=

3

b，

∴a²=4b²，

∴a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；

（3 ） 易知椭圆C的左，右顶点坐标为A（-2，0），B（2，0），直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，

故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M（

34

15

，

64k

15

）

由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0

设S（x₀，y₀），则(-2)x0=

16k2-4

1+4k2

，得x₀=

2-8k2

1+4k2

，

从而y0=

4k

1+4k2

，即S（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

）．

又B（2，0），故直线BS的方程为y=-

1

4k

（x-2），

x=

34

15

时，y=-

1

15k

，

∴N（

34

15

，-

1

15k

），

又k＞0，∴|MN|=

64k

15

+

1

15k

≥2

64k 15 • 1 15k

=

16

15

，

当且仅当

64k

15

=

1

15k

时，即k=

1

8

时等号成立，

∴k=

1

8

时，线段MN的长度取最小值

16

15

．