已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在二次函数f（x）=ax2+bx+c图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的横坐标为x0，记直线AB的斜率为k，（i）求证：k=f′（x0）；（ii）对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有（i）同样的性质？证明你的结论．
（I）函数的定义域为（0，+∞），要使函数g（x）在定义域内总为增函数，
则g′(x)=2ax+b+=＞0恒成立，①--------（1分）
当x＞0时恒成立，则2ax2+bx+c＞0 ②
因为a＜0，由二次函数的性质，②不可能恒成立．
则函数g（x）不可能总为增函数．--------（4分）
（II）（i）k===a（x2+x1）+b=2ax0+b，--------（6分）
由f'（x）=2ax+b，所以f'（x0）=2ax0+b，…..（7分）
则k=f′（x0）．--------（7分）
（ii）不妨设x2＞x1，对于“伪二次函数”：g（x）=ax2+bx+clnx，
k===2ax0+b+，③--------（9分）
由（ⅰ）中①知g′(x0)=2ax0+b+，
如果有（ⅰ）的性质，则g'（x0）=k，④，
比较③④两式得=，c≠0，
即：==--------（12分）
不妨令t=，t＞1，则=，即lnt=⑤，
设s(t)=lnt-，则s′(t)=-=＞0，
∴s（t）在（1，+∞）上递增，∴s（t）＞s（1）=0．
∴⑤式不可能成立，④式不可能成立，即g'（x0）≠k．--------（14分）
∴“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，不具有（ⅰ）的性质．--------（15分）
