（1）设所求抛物线的方程为y²=2px（p＞0），

由

y2=2px x+y-1=0

消去y，

得x²-2（1+p）x+1=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=2（1+p），

x₁•x₂=1．∵|AB|=

8 6

11

，

∴

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8 6

11

，

∴121p²+242p-48=0，

∴p=

2

11

或-

24

11

（舍）．

∴抛物线的方程为y²=

4

11

x．

（2）设AB的中点为D，则D(

13

11

，-

2

11

)．

假设x轴上存在满足条件的点C（x₀，0），∵△ABC为正三角形，

∴CD⊥AB，∴x₀=

15

11

．

∴C（

15

11

，0），∴|CD|=

2 2

11

．

又∵|CD|=

3

2

|AB|=

12 2

11

，

故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．