数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为0的常数，n∈N*），且

问题解答题

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为0的常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

an-c

n•cn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

（1）由已知可知a₂=2+c，a₃=2+3c（1分）

则（2+c）²=2（2+3c）

∴c=2

从而有a_n+1=a_n+2n（2分）

当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+a₃-a₂+…+（a_n-a_n-1）

=2+2×1+2×2+…+2n=n²-n+2（4分）

当n=1时，a₁=2适合上式，因而a_n=n²-n+2（5分）

（2）∵b_n=

an-c

n•cn

an-2

n•2n

n-1

（6分）

T_n=b₁+b₂+…+b_n=

+…+

n-2

2n-1

n-1

Tn=

+…+

n-2

n-1

2n+1

相减可得，

Tn=

+…+

n-1

21+n

(1-

2n-1

)

n-1

2n+1

（9分）

∴Tn=1-

n+1

（10分）