问题
解答题
| 数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，满足关系3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（t＞0，n=2，3，4…） （1）求证：数列{an}为等比数列； （2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f（
（3）求Tn=（b1b2-b2b3）+（b3b4-b4b5）+…+（b2n-1b2n-b2nb2n+1）的值． |
答案
（1）证：∵3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，3tSn+1-（2t+3）Sn=3t（n≥2），两式相减得3tan+1-（2t+3）an=0
又t＞0
∴
=an+1 an
（n≥2），2t+3 3t
又当n=2时，3tS2-（2t+3）S1=3t，
即3t（a1+a2）-（2t+3）a1=3t，得a2=
，2t+3 3t
即
=a2 a1
，2t+3 3t
∴
=an+1 an
（n≥1），2t+3 3t
∴{an}为等比数列
（2）由已知得，f（t）=2t+3 3t
∴bn=f（
）=1 bn-1
=3+ 2 bn-1 3 bn-1
+bn-1（n≥2，n∈N*）．2 3
∴{bn}是一个首项为1，公差为
的等差数列．2 3
于是bn=
n+2 3 1 3
（3）Tn=b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）=-2（b2+b4+…+b2n）
=-2d（b2+b4+…+b2n）
=-2×
[2 3
+5n 3
×n(n-1) 2
]4 3
=-
-8n2 9 4n 3