问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4． （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）是否存在正整数k，使
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答案
（1）证明：由题意，an+Sn=4，an+1+Sn+1=4，两式相减得an+1=
an 1 2
当n=1时，a1+S1=2a1=4，得a1=2．
∴数列{an}是以首项a1=2，公比为q=
的等比数列．1 2
（2）由（1）知Sn=4[1-(
)n]1 2
∴
＞2等价于Sk+1-2 Sk-2
＞24-21-k-2 4-22-k-2
∴
＜03-21-k-2 3-21-k-2
∴
＜21-k＜12 3
∴1＜2k-1＜3 2
∵k是正整数，
∴2k-1正整数，这与1＜2k-1＜
相矛盾，3 2
故不存在这样的k，使不等式成立．