（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0

则

- D 2 -E+1=0 4-2E+F=0 10+3D+E+F=0

解得D=-6，E=4，F=4

∴圆C方程为x²+y²-6x+4y+4=0----------------------（5分）

（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

则由

x2+y2-6x+4y+4=0 y=x+b

得2x²+2（b-1）x+b²+4b+4=0（*）

∴

x1+x2=1-b x1•x2= b2+4b+4 2

----------------------------（7分）

∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2，

∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，

∴x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2

得x₁x₂+y₁y₂=0，---------------------------------（9分）

∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，

即b²+4b+4+b（1-b）+b²=0，b²+5b+4=0，∴b=-1或b=-4-----------（11分）

容易验证b=-1或b=-4时方程（*）有实根．

故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x-1或y=x-4．--------------------（12分）