数列{an}的前n项和Sn，当n≥1时，Sn+1是an+1与Sn+1+k的等比中

问题解答题

数列{a_n}的前n项和S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+k的等比中项（k≠0）．
（1）求证：对于n≥1有

Sn+1

；
（2）设a1=-

，求S_n；
（3）对n≥1，试证明：S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1＜

答案

证明：（1）由S_n+1²=a_n+1•（S_n+1+k）而a_n+1=S_n+1-S_n

∴S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k）

∴-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0

等式两边同除Sn+1Sn得：-1+k(

Sn+1

)=0

∴

Sn+1

；（4分）

（2）由（1）知：{

}是以-

为首项，

以

-1

为公差的等差数列，

∴

n+1

∴Sn=-

n+1

；（8分）

（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1

2•3

3•4

(n+1)(n+2)

=k2[(

)+(

)++(

n+1

n+2

)]

=k2(

n+2

)＜

．（12分）