已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2（n∈N*）（

问题解答题

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N^*）

（I）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；

（II）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n．

答案

（I）∵S_n=2a_n+n²-3n-2①∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2

两式相减，得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，∴a_n+1=2a_n-2n+2

故a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），又在①式中令n=1得a₁=4，∴a₁-2≠0∴

an+1-2(n+1)

an-2n

=2，

∴{a_n-2n}为等比数列

（II）由（I）知：a_n-2n=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+2n且cosnπ=（-1）ⁿ

当n为偶数时，设n=2k（k∈N^*）

则P_n=b₁+b₂+…+b_n=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）={-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^2k-1+2（2k-1）]}+[（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2^2k+2k）]=-（2+2³+…+2^2k-1）-2[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）+2（2+4+…+2k）=-（2-2²+2³-2⁴+…+2^2k-1-2^2k）+2[-1+2-3+4-…-（2k-1）+2k]=-

2[1-(-2)2k]

1-(-2)

+2k=

(2n-1)+n

当n为奇数时，设n=2k-1（k∈N^*），同理可得Pn=-

2(2k-1)+1+2

-[(2k-1)+1]=-

2n+1+2

-(n+1)=-

2n+1

-n-

综上所述，Pn=

2n+1

-n-

，n为奇数

(2n-1)+n，n为偶数