（1）由等差数列{a_n}是递增数列，可设{a_n}的公差为d（d＞0），

∵a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²，

∴

解得

（2）假设存在正整数m，l，使数列a_m，a_m+l，a_m+2l为等比数列，

则a_m+l²=a_ma_m+2l，而a_n=2n-1，

∴[2（m+l）-l]²=（2m-1）[2（m+2l）-l]，

解得l=0，与l为正整数矛盾，故假设不成立，

对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．

（3）∵a_m=2m-1，a_m+l=2m+2l-1，a_m+kl=2m+2kl-1，

数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列的充要条件是（2m+2l-1）²=（2m-1）（2m+2kl-1），

∴4（2m-1）l+4l²=（2m-1）2kl，

∵l为正整数，∴2（2m-1）+2l=（2m-1）k，

即（2m-1）（k-2）=2l，

对于任意给定的正整数m，2m-1为奇数，而2l为偶数，

∴k-2为偶数，

记k-2=2t（t∈N⁺），

即k=2+2t，t∈N⁺，

此时l=（2m-1）t∈N⁺，

综上所述，正整数k的取值集合为{k|k=2+2t，t∈N^*}．