设A为正定矩阵,证明A*也为正定矩阵.
参考答案:由题设,A为正定矩阵,故知A为实对称矩阵,且|A|>0.从而A可逆,
(A-1)T=(AT)-1=A-1,
故A-1也为实对称矩阵.又A*=|A|A-1,|A|>0,于是只要证A-1为正定矩阵即可.
设向量x≠0,记y=A-1x,由A-1满秩,知y≠0,于是
XTA-1x=(Ay)Tt=yTATy=yTAy>0,
故A-1为正定矩阵,从而A*也为正定矩阵.
解析:
[分析]: 欲证A*为正定矩阵,转化为证明A-1为正定矩阵.