问题 解答题
若椭圆E1
x2
a21
+
y2
b21
=1
和椭圆E2
x2
a22
+
y2
b22
=1
满足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m>0)
,则称这两个椭圆相似,m是相似比.
(Ⅰ)求过(2,
6
)
且与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
相似的椭圆的方程;
(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段OB上).
①若P是线段AB上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比数列,求P点的轨迹方程;
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值.
答案

(Ⅰ)设与

x2
4
+
y2
2
=1相似的椭圆的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1

则有

2
a
=
2
b
4
a2
+
6
b2
=1
…(3分)

解得a2=16,b2=8.

所求方程是

x2
16
+
y2
8
=1.…(4分)

(Ⅱ)①当射线l的斜率不存在时A(0,±

2
),B(0,±2
2
),

设点P坐标P(0,y0),则y02=4,y0=±2.即P(0,±2).…(5分)

当射线l的斜率存在时,设其方程y=kx,P(x,y)

由A(x1,y1),B(x2,y2)则

y1=kx1
x21
4
+
y21
2
=1

x21
=
4
1+2k2
y21
=
4k2
1+2k2

|OA|=

2
1+k2
1+2k2
同理|OB|=
4
1+k2
1+2k2
…(7分)

又点P在l上,则k=

y
x
,且由x2+y2=
8(1+k2)
1+2k2
=
8(1+
y2
x2
)
1+2
y2
x2
=
8(x2+y2)
x2+2y2

即所求方程是

x2
8
+
y2
4
=1.

又∵(0,±2)适合方程,

故所求椭圆的方程是

x2
8
+
y2
4
=1.…(9分)

②由①可知,当l的斜率不存在时,|OA|•|OB|=

2
•2
2
=4,当l的斜率存在时,

|OA|•|OB|=

8(1+k2)
1+2k2
=4+
4
1+2k2

∴4<|OA|•|OB|≤8,…(11分)

综上,|OA|•|OB|的最大值是8,最小值是4.…(12分)

单项选择题
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