问题
解答题
若椭圆E1:
(Ⅰ)求过(2,
(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段OB上). ①若P是线段AB上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比数列,求P点的轨迹方程; ②求|OA|•|OB|的最大值和最小值. |
答案
(Ⅰ)设与
+x2 4
=1相似的椭圆的方程y2 2
+x2 a 2
=1.y2 b 2
则有
…(3分)
=2 a 2 b
+4 a2
=16 b2
解得a2=16,b2=8.
所求方程是
+x2 16
=1.…(4分)y2 8
(Ⅱ)①当射线l的斜率不存在时A(0,±
),B(0,±22
),2
设点P坐标P(0,y0),则y02=4,y0=±2.即P(0,±2).…(5分)
当射线l的斜率存在时,设其方程y=kx,P(x,y)
由A(x1,y1),B(x2,y2)则y1=kx1
+x 21 4
=1y 21 2
得
=x 21 4 1+2k2
=y 21 4k2 1+2k2
∴|OA|=
同理|OB|=2 1+k2 1+2k2
…(7分)4 1+k2 1+2k2
又点P在l上,则k=
,且由x2+y2=y x
=8(1+k2) 1+2k2
=8(1+
)y2 x2 1+2 y2 x2
,8(x2+y2) x2+2y2
即所求方程是
+x2 8
=1.y2 4
又∵(0,±2)适合方程,
故所求椭圆的方程是
+x2 8
=1.…(9分)y2 4
②由①可知,当l的斜率不存在时,|OA|•|OB|=
•22
=4,当l的斜率存在时,2
|OA|•|OB|=
=4+8(1+k2) 1+2k2
,4 1+2k2
∴4<|OA|•|OB|≤8,…(11分)
综上,|OA|•|OB|的最大值是8,最小值是4.…(12分)