（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为：

x=1，从而点A的坐标为（1，

3

2

）或（1，-

3

2

）．

因为点A在抛物线上．

所以

9

4

=2p，即p=

9

8

．

此时C₂的焦点坐标为（

9

16

，0），该焦点不在直线AB上．

（II）解法一：假设存在m、p的值使C₂的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB

的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）．

由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k⁴x+4k²-12=0①

设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），

则x₁，x₂是方程①的两根，x₁+x₂=

8k4

3+4k2

．

由

(y-m)2=2px y=k(x-1)

消去y得（kx-k-m）²=2px．②

因为C₂的焦点F′(

p

2

，m)在直线y=k（x-1）上，

所以m=k(

p

2

-1)，即m+k=

kp

2

．代入②有(kx-

kp

2

)2=2px．

即k2x2-p(k2+2)x+

k2p2

4

=0．=3 ③

由于x₁，x₂也是方程=3 ③的两根，

所以x₁+x₂=

p(k2+2)

k2

．

从而

8k4

3+4k2

=

p(k2+2)

k2

．

解得p=

8k4

(4k2+3)(k2+2)

=4 ④

又AB过C₁…C₂的焦点，

所以|AB|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=(2-

1

2

x1)+(2-

1

2

x2)，

则p=4-

3

2

(x1+x2)=4-

12k2

4k2+3

=

4k2+12

4k2+3

．=5 ⑤

由=4 ④、=5 ⑤式得

8k4

(4k2+3)(k2+2)

=

4k2+12

4k2+3

，即k⁴-5k²-6=0．

解得k²=6．于是k=±

6

，p=

4

3

．

因为C₂的焦点F′(

2

3

，m)在直线y=±

6

(x-1)上，

所以m=±

6

(

2

3

-1)．

∴m=

6

3

或m=-

6

3

．

由上知，满足条件的m、p存在，且m=

6

3

或m=-

6

3

，p=

4

3

．

解法二：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂y₂）．

因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又过C₂的焦点F′(

p

2

，m)，

所以|AB|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=(2-

1

2

x1)+(2-

1

2

x2)．

即x1+x2=

2

3

(4-p)． ①

由（Ⅰ）知x₁≠x₂，p≠2，于是直线AB的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

m-0

p 2 -1

=

2m

p-2

，②

且直线AB的方程是y=

2m

p-2

(x-1)，

所以y1+y2=

2m

p-2

(x1+x2-2)=

4m(1-p)

3(p-2)

．③

又因为

3 x 21 +4 y 21 =12 3 x 22 +4 y 22 =12

，

所以3(x1+x2)+4(y1+y2)•

y2-y1

x2-x1

=0．④

将①、②、③代入④得m2=

3(p-4)(p-2)2

16(1-p)

．=5 ⑤

因为

(y1-m)2=2px1 (y2-m)2=2px2

，

所以y1+y2-2m=2p

x2-x1

y2-y1

．=6 ⑥

将②、③代入=6 ⑥得m2=

3p(p-2)2

16-10p

．=7 ⑦

由=5 ⑤、=7 ⑦得

3(p-4)(p-2)2

16(1-p)

=

3p(p-2)2

16-10p

．

即3p²+20p-32=0

解得p=

4

3

或p=-8(舍去)．

将p=

4

3

代入=5 ⑤得m2=

2

3

，

∴m=

6

3

或m=-

6

3

．

由上知，满足条件的m、p存在，

且m=

6

3

或m=-

6

3

，p=

4

3