问题
解答题
以抛物线y2=4x的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B2，右顶点为A2，左、右焦点为F1、F2，且|
（1）求椭圆的标准方程； （2）若M，N的中点为H，且
（3）在x轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出m的范围；否则，请说明理由． |
答案
（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），∴椭圆中c=1，
∵|
|cos∠B2F1F2=F1B2
|3 3
|，OB2
∴b=
c=3
，3
∴a=2，
∴椭圆的标准方程为
+x2 4
=1；y2 3
（2）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线代入椭圆方程得（4k2+3）x2+16kx+4=0，
∴△=12k2-3＞0，
∵k＞0，∴k＞
，1 2
且x1+x2=
，x1x2=-16k 4k2+3
，4 4k2+3
∴MN的中点H（
，-8k 4k2+3
），6 4k2+3
∵
∥OH
，A2B2
∴
=6 4k2+3 -8k 4k2+3
，
-03 0-2
∴k=
＞3 2
，1 2
∴k=
；3 2
（3）设在x轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，则HQ⊥MN，
∴
•k=-1，
-06 4k2+3
-m-8k 4k2+3
∴m=-
=-2k 4k2+3
≥-2 4k+ 3 k
=-2 2 4k• 3 k
，3 6
当且仅当4k=
，即k=3 k
时取等号，3 2
又m=-
＜0，2k 4k2+3
∴在x轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，m范围是[-
，0）．3 6