已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0且bc≠0）．（1）若|f（0）|=

问题解答题

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0且bc≠0）．

（1）若|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，试求f（x）的解析式；

（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜|x₁-x₂|≤2，试确定c-b的符号．

答案

（1）由已知|f（1）|=|f（-1）|，有|a+b+c|=|a-b+c|，（a+b+c）²=（a-b+c）²，可得4b（a+c）=0．

∵bc≠0，∴b≠0．∴a+c=0．

又由a＞0有c＜0．

∵|c|=1，于是c=-1，则a=1，|b|=1．

∴f（x）=x²±x-1．

（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0．

设方程f（x）=0的两根为x₁、x₂．

∴x₁+x₂=-

=2，x₁x₂=

．

则|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

4-4

．

由已知0＜|x₁-x₂|≤2，

∴0≤

＜1．

又∵a＞0，bc≠0，

∴c＞0．

∴c-b＞0．