问题
解答题
| 已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周长为12，动点A的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）设P、Q为E上两点，
|
答案
（1）∵|AB|+|AC|+|BC|=12，|BC|=4，
∴|AB|+|AC|=8＞4，
∴A的轨迹为椭圆，且2a=8，2c=4，
∴a2=16，c2=4，b2=12，
∵A，B，C不能共线，∴A点不能在x轴上，
∴曲线E的方程为
+x2 16
=1(y≠0)…（5分）y2 12
（2）证明：设直线PQ的方程为x=ny+m，
由
得（4n2+3）y2+8mny+4m2-48=0，x=ny+m
+x2 16
=1y2 12
∴y1+y2=-
，y1•y2=8mn 4n2+3
…（2分）4m2-48 4n2+3
∴x1x2=(ny1+m)(ny2+m)=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2=
…（1分）3m2-48n2 4n2+3
∵
•OP
=0，∴x1x2+y1•y2=0，OQ
∴
+3m2-48n2 4n2+3
=0，4m2-48 4n2+3
∴7m2-48n2-48=0…（1分）
∵|OM|为点O（0，0）到直线PQ：x-ny-m=0的距离，
∴|OM|=
，|-m| n2+1
∴|OM|2=
…（1分）m2 n2+1
由7m2-48n2-48=0得m2=
(n2+1)…（1分）48 7
∴|OM|2=
=
(n2+1)48 7 n2+1
，48 7
∴|OM|为定值…（1分）
