（文）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=pan+n-1(n

问题解答题

（文）已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，an+1=

pan+n-1(n为奇数)

-an-2n(n为偶数)

．
（1）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），试求数列{b_n}前3项的和T₃；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，p=

，求证：{c_n}是为等比数列；
（3）当p=

时，对任意n∈N^*，不等式S2n+1≤log

(x2+3x)都成立，求x的取值范围．

答案

（1）据题意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，

所以{b_n}成等差数列，故Tn=

-4-4n

•n=-2n（n+1）（4分）

∴T₃=-24

证明：（2）因为cn+1=a2n+2=

p2n+1+2n=

(-a2n-4n)+2n=-

所以

cn+1

故当p=

时，数列{c_n}是首项为1，公比为-

等比数列；

∴Cn=(-

)n-1

（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差数列

∵当p=

时a2n=cn=(-

)n-1

因为S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）

=a₁+b₁+b₂+…+b_n

=2+（-4-8-12-…-4n）=2-

4+4n

•n

=-2n²-2n+2（n≥1）

又S_2n+3-S_2n+1=-4n-4＜0

所以{S_2n+1}单调递减

当n=1时，S₃最大为-2

所以-2≤log

(x2+3x)

∴

x2+3x＞0

x2+3x≤4

⇒x∈[-4，-3)∪(0，1]