问题
问答题
(Ⅰ)求f的矩阵A;
(Ⅱ)求f的秩;
(Ⅲ)当f的秩为2时,求矩阵A的特征值及特征向量;
(Ⅵ)当f的秩为2时,用正交变换化二次型为标准形,并求出相应的正交变换矩阵.
答案
参考答案:[*]
[*]
则当a=0时,f的秩为2;
当a≠0时,f的秩为3.
(Ⅲ)f的秩为2,即a=0时,由|A-λE|=0得特征值 λ1=λ2=4,λ3=0。
λ1=λ2=4时,由(A-4E)X=0取特征向量
[*]
当λ3=0时,由(A-0E)X=0,取特征向量[*]
(Ⅳ)取P=(P1,P2,P3)=[*],则由正交变换X=PY,可化二次型为标准形[*]
解析:
[分析]: 本题关键在于正确写出二次型的矩阵,然后根据二次型的秩来确定参数α