问题
解答题
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+
（1）求证数列{
（2）设b n=
（3）设Cn=
|
答案
（1）∵an+1=2（1+
）2•an，1 n
∴
=2•an+1 (n+1)2 an n2
∵a1=2，∴{
}是以2为首项，2为公比的等比数列an n2
∴
=2nan n2
∴an=n2•2n；
（2） bn=
=n•2nan n
∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（3）证明：cn=
=n an
＞0，1 n•2n
设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=
+1 1•2
+…+1 2•22
＜1 n•2n
+1 2
+1 8
(1 4
+…+1 24
)=1 2n
+2 3
•1 4
-1 23
•(1 4
)n＜1 2
+2 3
•1 4
＜1 23
+2 3
=1 30 7 10
综上：c1+c2+c3+…+cn＜7 10