已知数列{an}的前n项和Sn，对任意n∈N*，满足（1-r）Sn=1-an+1

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

．

答案

（1）因为数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，

所以（1-r）S_n-1=1-a_n，所以（1-r）a_n=-a_n+1+a_n，

所以

an+1

=r，

所以数列{a_n}是以1为首项以r为公比的等比数列．

（2）由（1）可知，a_n=r^n-1．

又b_n=a_2n-1+a_2n，

S_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=

2n r=1

1-r2n

1-r

r≠1

，

当1＞r＞0时，

lim

n→∞

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=1-r．

当r=1时

lim

n→∞

lim

n→∞

=0；

当r＞1时，

lim

n→∞

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=0．