问题
解答题
| 设f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证： （Ⅰ）a＞0且-2＜
（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根． |
答案
证明：（I）因为f（0）＞0，f（1）＞0，
所以c＞0，3a+2b+c＞0．
由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
故-2＜
＜-1．b a
（II）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点坐标为(-
，b 3a
)，3ac-b2 3a
在-2＜
＜-1的两边乘以-b a
，得1 3
＜-1 3
＜b 3a
．2 3
又因为f（0）＞0，f（1）＞0，
而f(-
)=-b 3a
＜0，a2+c2-ac 3a
所以方程f（x）=0在区间(0，-
)与(-b 3a
，1)内分别有一实根．b 3a
故方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．