问题 解答题
已知点A(-2,0),B(2,0),M(-1,0),直线PA,PB相交于点P,且它们的斜率之积为-
3
4

(1)求动点P的轨迹方程;
(2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系,并说明理由;
(3)直线PM与椭圆的另一个交点为N,求△OPN面积的最大值(O为坐标原点).
答案

(1)设P(x,y),由已知得

y
x+2
y
x-2
=-
3
4
(x≠±2)

化简得

x2
4
+
y2
3
=1,

所以点P的轨迹方程为

x2
4
+
y2
3
=1(x≠±2).------------(3分)

(2)解法1:设点P(x0,y0),PB的中点为Q,则Q(

x0+1
2
y0
2
),|PB|=
(x0-1)2+
y20
=
x20
-2x0+1+3-
3
4
x20
=
1
4
x20
-2x0+4
=2-
1
2
x0

即以PB为直径的圆的圆心为Q(

x0+1
2
y0
2
),半径为r1=1-
1
4
x0

又圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,|OQ|=

(
x0+1
2
)
2
-(
y0
2
)
2
=
1
4
x20
+
1
2
x0+
1
4
+
1
4
(3-
3
4
x20
)
=
1
16
x20
+
1
2
x0+1
=1+
1
4
x0

故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.------------------(7分)

解法2:由椭圆的定义得|PM|+|PN|=2a=4

圆心距|OO′|=

1
2
|PN|=2-
1
2
|PM|=2-|O′M|

所以以PB为直径的圆与圆x2+y2=4内切.

(3)解法1:

若直线PN的斜率不存在,则PN:x=-1,解得P(-1,

3
2
),N(-1,-
3
2
),|PN|=3,S△PON=
3
2

若直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x+1)(k≠0),

y=k(x+1)
x2
4
+
y2
3
=1
得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,

设P(x1,y1),N(x2,y2),△=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1),|PN|=

1+k2
|x1-x2|=
1+k2
4k2+3
=
12(1+k2)
4k2+3

原点O到直线PN的距离d=

|k|
1+k2

所以S△PON=

1
2
|PN|d=
6
1+k2
|k|
4k2+3
=6
k2+k4
(4k2+3)2

设4k2+3=t,则t>3,则有S△PON=6

-
3
16t2
-
1
8t
+
1
16
=6
-
3
16
(
1
t
+
1
3
)
2
+
1
12

因为0<

1
t
1
3
,所以S△PON∈(0,
3
2
)

综上所述,S△PON的最大值为

3
2
.------------------(12分)

解法2:设直线PN的方程为x=my-1.

x=my-1
x2
4
+
y2
3
=1
得(3m2+4)y2-6my-9=0,

设P(x1,y1),N(x2,y2),△=144(m2+1),|y1-y2|=

3m2+4
=
12
m2+1
3m2+4
S△PON=
1
2
|OM||y1-y2|=
6
m2+1
3m2+4
=6
m2+1
(3m2+4)2

设3m2+4=t,则t≥4,则有S△PON=6

t-1
3t2
=6
-
1
3
(
1
t
-
1
2
)
2
+
1
12

因为0<

1
t
1
4
,所以当
1
t
=
1
4
,即t=4,m=0时,S△PON的最大值为
3
2
.------------------(12分)

单项选择题
单项选择题 A1型题