(1)设P(x,y),由已知得•=-(x≠±2)
化简得+=1,
所以点P的轨迹方程为+=1(x≠±2).------------(3分)
(2)解法1:设点P(x0,y0),PB的中点为Q,则Q(,),|PB|====2-x0,
即以PB为直径的圆的圆心为Q(,),半径为r1=1-x0,
又圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,|OQ|====1+x0,
故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.------------------(7分)
解法2:由椭圆的定义得|PM|+|PN|=2a=4
圆心距|OO′|=|PN|=2-|PM|=2-|O′M|
所以以PB为直径的圆与圆x2+y2=4内切.
(3)解法1:
若直线PN的斜率不存在,则PN:x=-1,解得P(-1,),N(-1,-),|PN|=3,S△PON=;
若直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x+1)(k≠0),
由得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,
设P(x1,y1),N(x2,y2),△=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1),|PN|=|x1-x2|==,
原点O到直线PN的距离d=,
所以S△PON=|PN|d==6
设4k2+3=t,则t>3,则有S△PON=6=6
因为0<<,所以S△PON∈(0,).
综上所述,S△PON的最大值为.------------------(12分)
解法2:设直线PN的方程为x=my-1.
由得(3m2+4)y2-6my-9=0,
设P(x1,y1),N(x2,y2),△=144(m2+1),|y1-y2|==,S△PON=|OM||y1-y2|==6
设3m2+4=t,则t≥4,则有S△PON=6=6.
因为0<≤,所以当=,即t=4,m=0时,S△PON的最大值为.------------------(12分)
