问题
解答题
已知椭圆E:
(Ⅰ)若∠ADC=90°,求△ADC的面积S; (Ⅱ)设直线PB,DC的斜率存在且分别为k1,k2,若k1=2k2,求λ的取值范围. |
答案
(Ⅰ)设D(x0,y0),
∵椭圆E:
+y2=1的左、右顶点分别为A(-2,0)、B(2,0),x2 4
C(1,0),∠ADC=90°,
∴
•AD
=(x0+2,y0)•(x0-1,y0)=(x0+2)(x0-1)+y02=0,AC
联立
,(x0+2)(x0-1)+y02=0 x02+4y02=4
解得
或x0= 2 3 y0= 2 2 3
(舍),x0=-2 y0=0
∴S△ADC=
×3×1 2
=2 2 3
,2
∴△ADC的面积S为
.2
(Ⅱ)设P(x1,y1),D(x2,y2),∵P,Q分别在圆与椭圆上,
∴x12+y12=4,
+y22=1,x22 4
∵A(-2,0),P(x1,y1),D(x2,y2)三点共线,
则有
=y1 x1+2
.y2 x2+2
∵k1=
,k2=y1 x1-2
,又k1=λk2,即y2 x2-1
=λ•y1 x1-2
,y2 x2-1
∴
•y1 x1-2
=λ•y1 x1+2
•y2 x2-1
,即y2 x2+2
=λ•y12 x12-4
,y22 (x2-1)(x2+2)
又y12=4-x12,y22=1-
,代入得-1=λ•x22 4
,1- x22 4 (x2-1)(x2+2)
即λ=
=4(1-4(1-x2) 2-x2
),1 2-x2
∵x2∈(-2,2),∴λ<3,又∵λ≠0,
∴λ∈(-∞,0)∪(0,3).