问题
解答题
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）若直线l不经过椭圆上的点M（4，1），求证：直线MA，MB的斜率互为相反数． |
答案
（Ⅰ）椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，长轴长为43 2
，5
∴2a=4
，e=5
=c a
，3 2
解得a=2
，c=5
，b=15
，5
∴椭圆方程为
+x2 20
=1．…（4分）y2 15
（Ⅱ）将y=x+m代入
+x2 20
=1，并整理，得：y2 5
5x2+8mx+4m2-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，
∴△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，
解得-5＜m＜5，
∴m的取值范围是（-5，5）．
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由（Ⅱ）得x1+x2=-
，x1x2=8m 5
，4m2-20 5
k1+k2=
+y1-1 x1-4
=y2-1 x2-4
，(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4) (x1-4)(x2-4)
∵分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
=
-2(4m2-20) 5
-8(m-1)=0，8m(m-5) 5
∴k1+k2=0，
∴直线MA，MB的斜率互为相反数．