（1）双曲线C₁：

x2

1 2

-

y2

1

=1左顶点A（-

2

2

，0），

渐近线方程为：y=±

2

x．

过A与渐近线y=

2

x平行的直线方程为y=

2

（x+

2

2

），即y=

2

x+1，

所以

y=- 2 x y= 2 x+1

，解得

x=- 2 4 y= 1 2

．

所以所求三角形的面积为S=

1

2

|OA||y|=

2

8

．

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，

因直线PQ与已知圆相切，故

|b|

2

=1，

即b²=2，由

y=kx+b 2x2-y2=1

，

得x²-2bx-b²-1=0，

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=2b x1x2=-1-b2

，

又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）．

所以

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²

=2（-1-b²）+2b²+b²

=b²-2=0．

故PO⊥OQ．

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=

2

2

，则O到直线MN的距离为

3

3

．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞

2

2

），

则直线OM的方程为y=-

1

k

x，由

y=kx 4x2+y2

=1得

x2= 1 4+k2 y2= k2 4+k2

，

所以|ON|2=

1+k2

4+k2

．

同理|OM|2=

1+k2

2k2-1

，

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM|²+|ON|²）d²=|OM|²|ON|²，

所以

1

d2

=

1

|OM|2

+

1

|ON|2

=

3+3k2

k2+1

=3，

即d=

3

3

．

综上，O到直线MN的距离是定值．