问题
解答题
为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为an个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．
（1）当a1≠30时，写出数列{an}的一个递推公式，并证明数列{an-30}是一个等比数列；
（2）求出用a1和n表示的数列{an}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a1的取值范围．
答案
（1）依题意，有an=
an-1+15，（其中n≥2）；1 2
∴an-30=
(an-1-30)，1 2
又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，
为公比的等比数列．1 2
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(
)n-1；1 2
∴an=30+(a1-30)•(
)n-1，1 2
又an-an-1=(a1-30)[(
)n-1-(1 2
)n-2]=(30-a1)•(1 2
)n-1＞0．1 2
∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．