问题
解答题
| 已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）． （1）求证：当n≥2时，{an+2an-1}和{an-3an-1}均为等比数列； （2）求证：当k为奇数时，
（3）求证：
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答案
（1）由an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）得：
an+1+2an=3（an+2an-1），an+1-3an=-2（an-3an-1）
且a2+2a1=15，a2-3a1=-10．
∴当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得an+1+2an=15×3n-1，an+1-3an=-10×（-2）n-1
以上两式相减得an=3n-（-2）n．
当k为奇数时，
+1 ak
-1 ak+1
=4 3k+1
+1 3k+2k
-1 3k+1-2k+1 4 3k+1
=
=-7×6k+8×4k 3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)
＜0，4k•[8-7•(
)k]3 2 3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)
∴
+1 ak
＜1 ak+1
．4 3k+1
（3）由（2）知，当k为奇数时，
+1 ak
＜1 ak+1
=4 3k+1
+1 3k
；1 3k+1
∴当n为偶数时，
+1 a1
+…+1 a2
＜1 an
+1 3
+…+1 32
=1 3n
(1-1 2
)＜1 3n 1 2
当n为奇数时，
+1 a1
+…+1 a2
＜1 an
(1-1 2
)＜1 3n+1 1 2