设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∵线段AB的中点在直线y=2x上，

∴

y1+y2

2

=

x1+x2

2

×2，即y₁+y₂=2（x₁+x₂），

把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线

x2

2

-y2=1，得：

x12-2y12=2 x22-2y22=2

，∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，

∴k=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

2(y1+y2)

=

1

4

．

故选：D．