问题
解答题
一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．
答案
（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切，
∴圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
∴圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
∴动圆圆心C的轨迹方程是x2=4y；
（2）②证明：设直线AB方程为：y=kx+b，
代入抛物线方程，消去y得：x2-4kx-4b=0．
∴x1+x2=4k，x1x2=-4b．
∵x1x2=-16，∴b=4．
∴直线AB过定点（0，4）；
②由抛物线定义知：|PA|=y1+1，|PB|=y2+1，
又y1=kx1+4，y2=kx2+4，x1+x2=4k，x1x2=-16．
∴|PA|+|PB|=k（x1+x2）+10=4k2+10≥10（等号当k=0时成立），
∴所求|PA|+|PB|的取值范围是[10，+∞）．
