问题
解答题
设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b2+c2的最大值和最小值．
答案
由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有实根，则△=b2-4c=b2+12b+32≥0，
∵|x|≥2时，f（x）≥0，
∴在区间[-2，2]有
即f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤
≤2b 2
消去c，解出4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4
，b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4
即b=-4，这时c=4，且△=0．
若f（x）=0无实根，则△=b2-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上-5≤b≤-4．
所以b2+c2=b2+（-3b-8）2=10b2+48b+64=10(b+
)2+12 5
，32 5
∴b2+c2在[-5，-4]上单调递减
故(b2+c2)min=32，(b2+c2)max=74．