问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an+n-4（n∈N*）
（1）求证：数列{an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=anlog2（an-1），求数列{cn}的前n项和为Tn．
答案
（1）∵Sn=2an+n-4，∴Sn-1=2an-1+（n-1）-4
∴an=2an-2an-1+1，从而an=2an-1-1即an-1=2（an-1-1）
∴数列{an-1}为等比数列
又a1=S1=2a1-3，故a1=3
因此an-1=(a1-1)×2n-1=2n
∴an=2n+1
（2）由（1）可得Cn=(2n+1)n=n•2n+n
记An=1×2+2×22+3×23+…+n•2n
∴2An=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
两式相减可得：-An=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
-n•2n+1=-2+(1-n)•2n+12(1-2n) 1-2
∴An=(n-1)•2n+1+2
∴Tn=(n-1)•2n+1+2+n(n+1) 2