已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点为F1（-1，0），F2（

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P(1，

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F₁的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF₂为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）∵椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P(1，

)．

∴

c=1

4b2

a2=b2+c2

，解得a=2，b=

，

∴椭圆C的方程为

=1．

（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x₀，y₀），

设直线l的方程为x=my-1，

由

x=my-1

3x2+4y2=12

得：（3m²+4）y²-6my-9=0，

△=36m²+36（3m²+4）＞0，

∴y1+y2=

3m2+4

，

∴AB的中点为(-

3m2+4

，

3m2+4

)，

∵四边形AMBF₂为平行四边形，∴AB与MF₂的中点重合，即：

x0+1

3m2+4

∴M(-

3m2+12

3m2+4

，

3m2+4

)，

把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m⁴-24m²-80=0

解得m2=

，

∴存在符合条件的直线l的方程为：y=±

(x+1)．