由题意：

（1）证明：

当n=1时，a₂=2a，则

a2

a1

=a；

当2≤n≤2k-1时，a_n+1=（a-1）S_n+2，a_n=（a-1）S_n-1+2，

∴a_n+1-a_n=（a-1）a_n，

∴

an+1

an

=a，

∴数列{a_n}是等比数列．

（2）由（1）得a_n=2a^n-1，

∴a₁a₂a_n=2ⁿ a^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿa

n(n-1)

2

=2n+

n(n-1)

2k-1

，

b_n=

1

n

[n+

n(n-1)

2k-1

]=

n-1

2k-1

+1（n=1，2，2k）．

（3）设b_n≤

3

2

，解得n≤k+

1

2

，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜

3

2

；

当n≥k+1时，b_n＞

3

2

．

原式=（

3

2

-b₁）+（

3

2

-b₂）++（

3

2

-b_k）+（b_k+1-

3

2

）++（b_2k-

3

2

）

=（b_k+1++b_2k）-（b₁++b_k）

=[

1 2 (k+2k-1)k

2k-1

+k]-[

1 2 (0+k-1)k

2k-1

+k]=

k2

2k-1

．

当

k2

2k-1

≤4，得k²-8k+4≤0，4-2

3

≤k≤4+2

3

，又k≥2，

∴当k=2，3，4，5，6，7时，

原不等式成立．