已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）单调递减区间； （2）当m=2时，设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3的定义域为D，∀x1，x2∈D，且x1+x2=1，求证：g（x1）+g（x2），g（x1）-g（x2），g（2x1）+g（2x2），g（2x1）-g（2x2）中必有一个是常数（不含x1，x2）； （3）若曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值． |
（1）f′(x)=m(x-1)-2+
=1 x
，x＞0mx2-(m+2)x+1 x
对于y=mx2-（m+2）x+1而言，
∵m≥1，∴△=（m+2）2-4m=m2+4＞0
且它的两个零点x2=
＞x1=m+2+ m2+4 2m
＞0m+2- m2+4 2m
故当x1＜x＜x2时f′（x）＜0
∴函数f（x）的单调减区间为(
，m+2- m2+4 2m
)m+2+ m2+4 2m
（2）法一：g（x）=4-4x+lnx-ln（2-x）+3关于点A（1，3）对称，证明如下：
设P（x0，y0）为y=g（x）图象上任意一点，P关于点A（1，3）的对称点为P′（2-x0，6-y0）．
∵y0=4-4x0+lnx0-ln（2-x0）+3，∴6-y0=4-4（2-x0）+ln（2-x0）-ln（2-（2-x0））+3
∴P′也在函数y=g（x）图象上，故y=g（x）图象关于点A（1，3）对称
∵2x1+2x2=2，∴g（2x1）+g（2x2）=6为常数
法二：g(2x1)+g(2x2)=4-4•2x1+ln
+3+4-4•2x2+ln2x1 2-2x1
+3=6为常数2x2 2-2x2
（3）∵f′（1）=-1，∴直线l：y-1=-（x-1），即y=2-x
代入y=
m(x-1)2-2x+3+lnx1 2
得m（x-1）2-2x+2lnx+2=0
令F（x）=m（x-1）2-2x+2lnx+2，则F（1）=0，∴F（x）=0有一个解x=1
又∵F′(x)=2(mx-1)(x-1) x
①当m=1时，F′(x)=2
≥0，∴F（x）在（0，+∞）上递增，∴F（x）=0恰有一个解符合条件；(x-1)2 x
②当m＞1时，当0＜x＜
或x＞1时，F′（x）＞0，当1 m
＜x＜1时F′（x）＜0，1 m
故F（x）极大值=F(
)＞0，极小值F（1）=0．1 m
且当x→0时F（x）→-∞；当x→+∞时，F（x）→+∞
∴F（x）在(0，
)，(1 m
，+∞)上各有一个实根，不符合条件，舍去1 m
综上m=1