（1）联立

y=x+1 ax2+y2=2

，得：（1+a）x²+2x-1=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2=- 2 1+a x1x2=- 1 1+a

，

∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=

a-2

a+1

，

∵四边形OAPB为矩形，∴OA⊥0B，

∴x₁x₂+y₁y₂=（-

2

1+a

）+

a-2

a+1

=0，

解得a=4．（6分）

（2）联立

y=kx+1 2x2+y2=2

，

得：（2+k²）x²+2kx-1=0，

∵以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，

设P（x，y），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴x₁+x₂=-

2k

2+k2

，y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，

∴

x=x1+x2= -2k 2+k2 y=y1+y2= 4 k2+2

，∴k=-

2x

y

，

∴P点的轨迹方程为2x+ky=0．（12分）