问题
解答题
已知椭圆
（1）求AB中点P的轨迹方程； （2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程． |
答案
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
则
+x 21 4
=1，(1)y 21
+x 22 4
=1，(2)y 22
（1）-（2），得
+(y1-y2)(y1+y2)=0，(x1-x2)(x1+x2) 4
∴
+x 4
•y=0，即x2+x+4y2=0y x+1
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
令l：x=hy-1代入x2+4y2=4，得（4+h2）y2-2hy-3=0，△=16（h2+3）＞0，
y1+y2=
，y1y2=-2h 4+h2 3 4+h2
∴S=
•|OM|•|y1-y2|=1 2
•1 2
=△ 4+h2
，2 h2+3 h2+4
令
=t≥h2+3
，则S=3
=2t t2+1
在[2 t+ 1 t
，+∞)上单调递减，3
∴t=
，即h=0时，Smax=3
，此时l：x=-1．3 2