问题
解答题
| 数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，又设bn=an+1 （1）求证：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设cn=
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答案
（1）∵a1=1，且an+1=2an+1，bn=an+1
∴an+1+1=2（an+1）
∴
=2，a1+1=2bn+1 bn
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）∵bn=2×2n-1=2n
∴an=bn-1=2n-1
（3）∵cn=
=n+1 an+1
．n+1 2n
∴Sn=
+2 21
+3 22
+…+4 23 n+1 2n
∴
Sn=1 2
+2 22
+…+3 23
+n 2n n+1 2n+1
∴两式相减可得：
Sn=1 2
+2 21
+1 22
+…+1 23
-1 2n
=1+n+1 2n+1
-
[1-(1 22
)n-1]1 2 1- 1 2
=n+1 2n+1
-3 2
．n+3 2n+1
∴Sn=3-
．n+3 2n