问题
解答题
直线l过x轴上的点M，l交椭圆
（1）若M的坐标为（2，0），当OA⊥OB时，求直线l的方程； （2）若M的坐标为（1，0），设直线l的斜率为k（k≠0），是否存直线l，使得l垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，说明理由． |
答案
（1）k不存在时，显然不成立；
令直线l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0，x2+2y2=8 y=k(x-2)
∴x1+x2=
，x1x2=8k2 1+2k2
，8(k2-1) 1+2k2
由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0，
韦达定理代入，得（1+k2）•
-2k2•8(k2-1) 1+2k2
+4k2=0，8k2 1+2k2
∴k=±
，2
∴直线l：y=±
(x-2)；2
（2）令AB中点（x0，y0），由A（x1，y1），B（x2，y2），得
+x 21 8
=1，(1)y 21 4
+x 22 8
=1，(2)y 22 4
（1）-（2），得
+(y1-y2)(y1+y2)=0，(x1-x2)(x1+x2) 2
∴
+kAB•y0=0，即x0 2
-x0 2
•y0=0①1 k
又因为AB中点（x0，y0）在直线l上，所以y0=k（x0-2）②
由①②得x0=2，y0=k，
∵中点（x0，y0）在椭圆内，
∴
+x 20 8
＜1，即-y 20 4
＜k＜2
，且k≠0．2