问题
解答题
已知椭圆E:
(Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)过椭圆E的右焦点F2作一条倾斜角为
(Ⅲ)设点P(4,t)(t≠0),A、B分别是椭圆的左、右顶点,若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N,求证∠MBP为锐角. |
答案
(Ⅰ)由题设知:2a=4,即a=2,∴c2=1,b2=3
故椭圆方程为
+x2 4
=1,…(3分)y2 3
(Ⅱ)由已知得直线CD方程为y=x-1,将直线方程带入椭圆方程得:7x2-8x-8=0…(4分)
设点C(x1,y1),D(x2,y2),x1+x2=
,x1x2=-8 7
…(5分)8 7
则|CD|=1+12
=(x1+x2)2-4x1x2
•2
…(7分)(
)2+4•8 7 8 7
点F1到直线CD的距离是d=
=|-1-1| 2
…(8分)2
所以S△CDF1=
|CD|d=1 2 12 7
…(9分)2
(Ⅲ)A(-2,0),B(2,0).
设M(x0,y0),则-2<x0<2
因为点M在椭圆上,所以
=y 20
(4-3 4
)…(10分)x 20
因为P、A、M三点共线,所以kPA=kMA⇒
=t 6
⇒t=y0 x0+2
…(11分)6y0 x0+2
所以
=(x0-2,y0),BM
=(2,BP
)6y0 x0+2
所以
•BM
=BP
(2-x0)>0…(13分)5 2
所以∠MBP为锐角…(14分)