问题 解答题
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点F1的坐标为(-1,0),已知椭圆E上的一点到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过椭圆E的右焦点F2作一条倾斜角为
π
4
的直线交椭圆于C、D,求△CDF1的面积;
(Ⅲ)设点P(4,t)(t≠0),A、B分别是椭圆的左、右顶点,若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N,求证∠MBP为锐角.
答案

(Ⅰ)由题设知:2a=4,即a=2,∴c2=1,b2=3

故椭圆方程为

x2
4
+
y2
3
=1,…(3分)

(Ⅱ)由已知得直线CD方程为y=x-1,将直线方程带入椭圆方程得:7x2-8x-8=0…(4分)

设点C(x1y1),D(x2y2),x1+x2=

8
7
x1x2=-
8
7
…(5分)

|CD|=

1+12
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
(
8
7
)
2
+4•
8
7
…(7分)

点F1到直线CD的距离是d=

|-1-1|
2
=
2
…(8分)

所以S△CDF1=

1
2
|CD|d=
12
7
2
…(9分)

(Ⅲ)A(-2,0),B(2,0).

设M(x0,y0),则-2<x0<2

因为点M在椭圆上,所以

y20
=
3
4
(4-
x20
)…(10分)

因为P、A、M三点共线,所以kPA=kMA

t
6
=
y0
x0+2
⇒t=
6y0
x0+2
…(11分)

所以

BM
=(x0-2,y0),
BP
=(2,
6y0
x0+2
)

所以

BM
BP
=
5
2
(2-x0)>0…(13分)

所以∠MBP为锐角…(14分)

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