（1）∵椭圆的半焦距c=

3

，

直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，

∴2a•2b=8，

∴

ab=2 a2-b2=3

，

解得a=2，b=1，

∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．

（2）证明：∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点，

∴设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

∵y1=1-x1，y₂=1-x₂，

∴2x₁x₂-（x₁+x₂）=0，①

又将y=1-x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，

∵△＞0，∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，

代入①化简得

1

a2

+

1

b2

=2．

（3）∵e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

，

∴

1

3

≤1-

b2

a2

≤

1

2

，

∴

1

2

≤

b2

a2

≤

2

3

，

由（1）知b2=

a2

2a2-1

，

∴

1

2

≤

1

2a2-1

≤

2

3

，

∴

5

2

≤a≤

6

2

，

∴长轴2a∈[

5

，

6

]．