问题
解答题
已知：椭圆
（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若
（3）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）由
=b a
，3 3
a•b=1 2
•1 2
•3 2
，a2+b2
得a=
，b=1，3
所以椭圆方程是：
+y2=1x2 3
（2）设EF：x=my-1（m＞0）
代入
+y2=1，得（m2+3）y2-2my-2=0，x2 3
设E（x1，y1），F（x2，y2），
由
=2ED
，DF
得y1=-2y2．
由y1+y2=-y2=
，y1y2=-2y22=2m m2+3 -2 m2+3
得(-
)2=2m m2+3
，1 m2+3
∴m=1，m=-1（舍去），
直线EF的方程为：x=y-1即x-y+1=0
（3）将y=kx+2代入
+y2=1，x2 3
得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*）
记P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵PQ为直径的圆过D（-1，0），
则PD⊥QD，
即（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，
又y1=kx1+2，y2=kx2+2，
得(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=
=0．-12k+14 3k2+1
解得k=
，7 6
此时（*）方程△＞0，
∴存在k=
，满足题设条件．7 6