x=ky+3代入双曲线

x2

9

-

y2

4

=1，可化为（4k²-9）y²+24ky=0．

①当4k²-9=0时，可得k=±

3

2

，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；

②当4k²-9≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=（24k）²-0=0，解得k=0．此时满足条件．

综上可得：k=±

3

2

，0．

故选：C．