设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

则x₁²-

1

2

y12=1，x₂²-

1

2

y22=1，

两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-

1

2

（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，

∴x1-x2=

1

2

(y1-y2)，

即k_AB=2，

故所求直线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．

联立

y=2x-1 x2- 1 2 y2=1

可得2x²-4x+3=0，但此方程没有实数解

故这样的直线不存在

故选D