问题
解答题
已知数列{an}的首项a1=t＞0，an+1=
（1）若t=
（2）若an+1＞an对一切n∈N*都成立，求t的取值范围． |
答案
（1）证明：由题意知an＞0，
∵an+1=
，∴3an 2an+1
=1 an+1
，∴2an+1 3an
=1 an
+1 3an
，2 3
∴
-1=1 an+1
(1 3
-1)，1 an
∵
-1=1 a1
（4分）2 3
∴数列{
-1}是首项为1 an
，公比为2 3
的等比数列；（5分）1 3
∴
-1=(1 an
-1)(5 3
)n-1=1 3
，∴an=2 3n
（8分）3n 3n+2
（2）由（1）知
-1=1 an+1
(1 3
-1)，1 an
∴
-1=(1 an
-1)(1 t
)n-1（10分）1 3
由a1＞0，an+1=
知an＞0，故an+1＞an得3an 2an+1
＜1 an+1
（11分）1 an
即(
-1)(1 t
)n+1＜(1 3
-1)(1 t
)n-1+11 3
∴
-1＞0，又t＞0，则0＜t＜1（14分）1 t