在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）2+y2=16上的一动点，点D（1，0）

问题解答题

在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）²+y²=16上的一动点，点D（1，0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且

•

=0．
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为A，B，当动点P与A，B不重合时，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值．

答案

（Ⅰ）由点M是DN的中点，

•

=0，可知PM垂直平分DN．

所以|PN|=|PD|，

又|PC|+|PN|=|CN|，所以|PC|+|PD|=4．

由椭圆定义知，点P的轨迹是以C，D为焦点的椭圆．----------------------（4分）

设椭圆方程为

=1(a＞b＞0)．

又2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．

所以动点P表示的曲线E的方程为

=1．----------------------（6分）

（Ⅱ）证明：易知A（-2，0），B（2，0）．

设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则

=1，即

=3(1-

)，

则k1=

x0+2

，k2=

x0-2

，----------------------（8分）

即k1•k2=

-4

3(1-

)

-4

(

-4)

-4

，

∴k₁•k₂为定值-

．-----------------------------------12