函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-b2a对称．据此可推

问题选择题

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-

对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）

A．{1，2}

B．{1，4}

C．{1，2，3，4}

D．{1，4，16，64}

答案

∵f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-

令设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为f₁（x），f₂（x）

则必有f₁（x）=y₁=ax²+bx+c，f₂（x）=y₂=ax²+bx+c

那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线

它们与f（x）有交点

由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-

对称

也就是说x₁+x₂=-

同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-

对称

那就得到x₃+x₄=-

，

在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，

也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解

所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}

而在D中，{1，4，16，64}

找不到这样的组合使得对称轴一致，

也就是说无论怎么分组，

都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和

故答案D不可能

故选D．