问题 解答题

已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2.

(1)试求抛物线C的标准方程;

(2)若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为(2,1),试求直线l的方程.

答案

(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2,

所以|MF|=xM+

p
2
=1+
p
2
=2,所以p=2,

所以抛物线C的标准方程为y2=4x;

(2)设直线l与抛物线C相交所得的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),

则有

y21
=4x1
y22
=4x2
两式相减并整理得:
y1-y2
x1-x2
=
4
y1+y2

所以kAB=

y1-y2
x1-x2
=
4
y1+y2
=
4
2
=2

由直线的点斜式得:y-1=2(x-2)

所以直线l的方程为:2x-y-3=0.

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