问题
解答题
直线l：y=ax+1与双曲线3x2-y2=1有两个不同的交点，
（1）求a的取值范围；
（2）设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在就求出直线l的方程，若不存在则说明理由．
答案
（1）联立方程组
，消去y，得：3x2-y2=1 y=ax+1
（3-a）2x2-2ax-2=0，…（2分）
由题意方程有两个实数根，
则
，…（3分）3-a2≠0 △=(-2a)2-4(3-a2)×(-2)＞0
解得-
＜a＜6
，且a≠±6
，3
∴a的取值范围是（-
，-6
）∪（-3
，3
）∪（3
，3
）．…（5分）6
（2）设交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，x1+x2=
，x1x2=2a 3-a2
，…（6分）-2 3-a2
由题意可得，OA⊥OB（O是坐标原点），
则有x1x2+y1y2=0，…（7分）
而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1…（8分）
∴（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0
于是得(a2+1)
+a•-2 3-a2
+1=02a 3-a2
解得a=±1，且满足（1）的条件，…（10分）
所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，
直线l的方程为y=x+1或y=-x+1．…（12分）